Hur man löser ett system med linjära ekvationer

En linjär ekvation är en ekvation som grafer en linje. Ett system av linjära ekvationer är när det finns två eller flera linjära ekvationer grupperade tillsammans.

För att förenkla illustrationen kommer vi att överväga system med två ekvationer. Som namnet antyder finns det två okända variabler. Ofta betecknas de med bokstäverna x och y . Om ekvationer beskriver någon process kan bokstäverna väljas utifrån de roller de spelar. Till exempel kan d stå för avstånd och t för tid.

I den här artikeln lär vi oss att lösa system med linjära ekvationer med två roliga metoder. Men innan vi börjar, låt oss se hur vi slutar med ett visst system genom att titta på ett verkligt exempel.

Hämta ett system

En pojke går på sin cykel och börjar åka till skolan. Han rider 200 meter varje minut.

6 minuter senare inser hans mamma att hennes son glömde sin lunch. Hon går på sin egen cykel och börjar följa pojken. Hon rider 500 meter varje minut (hon är olympisk och guldmedaljist).

Vi vill ta reda på hur lång tid det tar för mamman att komma ikapp pojken och hur långt hon behöver åka för att göra det.

Eftersom pojken täcker 200 meter varje minut kommer han på t minuter att täcka 200 gånger t yards, eller 200t yards.

Hans mor börjar cykla 6 minuter senare, så hon åker i (t - 6) minuter. Eftersom hon täcker 500 yards varje minut, täcker hon (t - 6) minuter 500 gånger (t - 6) yards, eller 500 (t - 6) yards.

När hon hämtar honom har de båda gått samma sträcka. Låt oss säga för tillfället att avståndet är d .

För pojken har vi   d = 200t och för hans mor har vi d = 500 (t - 6) . Vi har nu vårt system med två ekvationer.

Ett lockigt stag läggs ofta till för att indikera att ekvationer bildar ett system.

Låt oss nu se hur vi kan lösa detta system.

Lösning genom utbyte

Den första metoden som vi kommer att överväga använder substitution .

Vi har två okända här, d och t . Tanken är att bli av med en variabel genom att uttrycka den med den andra variabeln.

Den övre ekvationen berättar att d = 200t , så låt oss ansluta 200t för d i bottenekvationen. Som ett resultat har vi en ekvation med bara variabeln t .

Först expanderar vi höger sida: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

Sedan förenklar vi genom att flytta de okända medlemmarna till ena sidan och de kända medlemmarna till den andra. Resultatet är: 500t - 200t = 3000 .

Att lösa t ger oss t = 10 , eller eftersom vi mäter tiden i minuter, t = 10 minuter . Med andra ord kommer mamman att komma ikapp sin son på tio minuter.

Den andra delen av vårt problem är att ta reda på hur långt hon var tvungen att cykla för att komma ikapp honom.

För att svara på den frågan måste vi hitta d . Att ersätta t = 10 i endera ekvationen ger oss det svaret.

För att göra det enklare, låt använda toppekvationen , d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Eftersom vi mäter avstånd i meter, är d = 2000 meter .

Låt oss testa din förståelse hittills - försök att lösa nästa system på egen hand:

{

y = 2x

y = 3 (x - 1)

Välj 1 svar


x = 3 och y = 6
x = 1 och y = 2
x = 6 och y = 3
x = 1/2 och y = 2/3
Skicka in

I systemet ovan är de okända variablerna x och y .

Från den övre ekvationen vet vi att y = 2x . Att ersätta det med bottenekvationen ger oss 2 (2x) = 3 (x + 1) .

När vi väl har utvidgat och förenklat får vi 4x = 3x + 3 . Eller x = 3 . Därför är y = 2 * 3 = 6 .

Lösning genom diagram

Den andra metoden vi kommer att överväga använder diagram ,där vi hittar lösningen på ett ekvationssystem genom att grafera dem.

Ta till exempel detta system: y = 2x + 3 och y = 9 - x .

En graf för varje ekvation är en linje. Den första för y = 2x + 3 ser ut så här:  

Därefter kan vi rita en rad för y = 9 - x :  

Dessa två linjer skär varandra vid exakt en punkt. Denna punkt är den enda lösningen på båda ekvationerna:

Det ordnade paret (2, 7) ger oss koordinaterna för vår skärningspunkt. Detta par är lösningen på systemet. Genom att ersätta x = 2 och y = 7 kan vi verifiera detta.

Vad händer om graferna är parallella och inte skär varandra? Till exempel:

När diagram över ekvationerna inte skär varandra betyder det att vårt system inte har någon lösning. Att försöka lösa genom utbyte kommer att bevisa det.

Resultatet av x - 1 = x - 3 blir 0 = -2 , vilket alltid är falskt .

Men tänk om två grafer är desamma och ligger direkt ovanpå varandra?

I sådana fall finns det ett oändligt antal skärningspunkter. Det betyder att vårt system har ett oändligt antal lösningar. Att använda substitutionsmetoden kommer att bevisa det.

Resultatet av x - 2 = x - 2 är 0 = 0 , vilket alltid är sant .

Mer övning

Försök använda både substitutions- och diagrammetoder för att lösa följande system. Dessa metoder kompletterar varandra och hjälper dig att stärka dina kunskaper.

{

y = 2

3y - 2x = 4

Välj 1 svar


Systemet har ingen lösning
x = 1/2 och y = 1
x = 1 och y = 2
x = 0 och y = 2
Skicka in

Att välja en viss variabel som ska användas som ersättning bör göra det lättare att hitta en lösning.

Försök att uttrycka x med två andra medlemmar i den övre ekvationen och byt sedan ut resultatet i bottenekvationen. På så sätt undviker du att hantera fraktioner.

{

x + 5y = 7

3x - 2y = 4

Välj 1 svar


x = 5 och y = 5/2
x = 1 och y = 2
x = 1 och y = 1
x = 2 och y = 1
Skicka in

Låt oss göra ytterligare en utmaning:

{

-6x - 8y = 4

y = -x - 1

Välj 1 svar


x = -2 och y = 1
Oändligt antal lösningar
x = 2 och y = -1
x = -1/6 och y = 6
Skicka in

Nu när du vet tillräckligt om substitution och diagram, gå ut och lösa mer linjära ekvationer.